Repr. des nombres à virgule en virgule fixe (notation Q)
Valeur → représentation⚓︎
Énoncé
Choix du nombre de bits de partie entière : , choix du nombre de bits de partie fractionnaire :
Ensemble des nombres à virgule représentables : {?·k | k ∈ ℕ et ?·k < ? } ⊆ [0 ; ?[.
Écrire le nombre à virgule ?,?10 en représentation en virgule fixe “UQ?.?” (notation Q).
Rappel virgule fixe et notation Q
En représentation en virgule fixe, la position de la virgule est fixe, ce qui répartit les bits entre partie entière et partie fractionnaire, respectivement sur n bits pour la partie entière et f bits pour la partie fractionnaire.
La notation Q est un standard de représentation en virgule fixe qui se construit en accolant partie entière à gauche et partie fractionnaire à droite sur n + f bits au total :
[partie entière sur n bits ⋮ partie fractionnaire sur f bits]UQn.f
On note cette représentation “UQn.f”. Par exemple, “UQ4.4” indique une représentation en virgule fixe selon la notation Q avec n = 4 bits de partie entière et f = 4 bits de partie fractionnaire.
Réponse
Correction
Tout d'abord on convertit la valeur en binaire :
Pour la partie entière (à gauche de la virgule), on utilise la technique des divisions par 2 successives ou des puissances de 2 inférieures, ou une autre technique, pour trouver :
10 = 2
La partie entière (à gauche de la virgule), est 0, en décimal comme en binaire :
010 = 02
Pour la partie fractionnaire (à droite de la virgule), on utilise la technique des multiplications par 2 successives pour trouver :
0,10 = 0,…2
On n'est pas tombé sur 1,0 après une multiplication, et il n'y a aucune période identifiable, donc on a continué les calculs jusqu'à avoir les bits de la partie fractionnaire.
Pour la partie fractionnaire (à droite de la virgule), on utilise la technique des multiplications par 2 successives pour trouver :
0,10 = 0,…2
On est tombé sur 1,0 ce qui nous a permis d'arrêter les calculs.
Pour la partie fractionnaire (à droite de la virgule), on utilise la technique des multiplications par 2 successives pour trouver :
0,10 = 0,2
On est tombé sur une période (partie soulignée), ce qui nous a permis d'arrêter les calculs.
La partie fractionnaire (à droite de la virgule), est 0, en décimal comme en binaire :
0,010 = 0,02
On a donc le nombre à virgule en binaire :
,2
En représentation en virgule fixe “UQ.”, on a n = bits de partie entière suivis de f = bits de partie fractionnaire.
[]UQ.
Représentation → valeur⚓︎
Énoncé
Choix du nombre de bits de partie entière : , choix du nombre de bits de partie fractionnaire :
Ensemble des nombres à virgule représentables : {?·k | k ∈ ℕ et ?·k < ? } ⊆ [0 ; ?[.
Trouver la valeur décimale du nombre à virgule qui est écrit en représentation en virgule fixe “UQ?.?” (notation Q) par les bits []UQ?.?.
Rappel virgule fixe et notation Q
En représentation en virgule fixe, la position de la virgule est fixe, ce qui répartit les bits entre partie entière et partie fractionnaire, respectivement sur n bits pour la partie entière et f bits pour la partie fractionnaire.
La notation Q est un standard de représentation en virgule fixe qui se construit en accolant partie entière à gauche et partie fractionnaire à droite sur n + f bits au total :
[partie entière sur n bits ⋮ partie fractionnaire sur f bits]UQn.f
On note cette représentation “UQn.f”. Par exemple, “UQ4.4” indique une représentation en virgule fixe selon la notation Q avec n = 4 bits de partie entière et f = 4 bits de partie fractionnaire.
Réponse
Correction
Pour commencer, on identifie la partie entière et la partie fractionnaire dans la représentation, sachant que on a n = bits de partie entière suivis de f = bits de partie fractionnaire :
[]UQ.
On a donc le nombre à virgule en binaire :
,2
Enfin, on utilise la méthode de la somme des puissances de 2 pour obtenir la valeur décimale à virgule :
,10